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(6/08/09) Toute matrice antisymétrique A peut être transformée par la transformation de Cayley R=(I+A)(I-A)-1 (parce que les valeurs propres de A sont imaginaires pures), et le résultat R est une matrice de rotation (une matrice orthogonale de déterminant +1); de plus , si R n'a pas la valeur propre -1, on retrouve A par la transformation inverse: A = (R-I)(R+I)-1. D'autres résultats surprenants du même genre sur Wikipédia. | |
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(6/06/09) On sait que la somme des cubes des n premiers entiers est le carré de la somme des entiers (s = n(n+1)/2). Mais ce résultat se généralise, donnant les polynômes de Faulhaber ; ainsi, la somme des puissances cinquièmes vaut (4s3-s2)/3 | |
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(1/06/09) Les racines des polynômes orthogonaux sont toutes réelles, et comprises dans l'intervalle d'intégration qui définit le produit scalaire ; j'avais oublié ce joli résultat dont voici une démonstration particulièrement simple (en anglais). En revanche, j'ignorais totalement (et cela semble assez méconnu) que les coefficients des polynômes de Tchebyshev sont donnés par une formule explicite, qui plus est assez simple elle aussi ; vous la (re)trouverez ici. | |
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(5/09/08) Soit F l'ensemble des applications f de Z dans Z telles que l'ensemble des f(m+n)-f(m)-f(n) soit borné (ne prenne qu'un nombre fini de valeurs, donc ; une telle fonction s'appelle un quasi-morphisme), ~ la relation d'équivalence sur F définie par f~g si f-g est bornée ; on note f* la classe d'équivalence de f et on pose f* + g* = (f+g)*, f* x g* =(g o f)*, et 0<f* <=> f est non majorée. L'ensemble quotient F, muni de +, x et de la relation d'ordre induite est un corps ordonné isomorphe à R (une démonstration complète ici, mais c'est assez élémentaire une fois remarqué que la fonction "partie entière de αn" appartient à F et s'identifie à α...) | |
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(26/11/08) L'équation fonctionnelle f(2x)=4f(x) a pour seules solutions de classe C2 dans R les fonctions de la forme f(x)=ax2 (remarquer que f''(2x)=f''(x), puis que f''(x/2n)=f''(x) et utiliser la continuité de f'' en 0) ; bien sûr, des fonctions simplement dérivables de la forme x2 sin(A ln|x|) (avec A bien choisi) sont aussi solutions... | |
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(19/11/08) Identifiant R4 à C2, tout hyperplan vectoriel réel contient une droite vectorielle complexe et une seule (facile, mais inattendu : prendre l'application f: v -> iv ; l'intersection de H et de f-1(H) est la droite cherchée, l'unicité résultant de la dimension...) | |
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(5/09/08) Soit F l'ensemble des applications f de Z dans Z telles que l'ensemble des f(m+n)-f(m)-f(n) soit borné (ne prenne qu'un nombre fini de valeurs, donc ; une telle fonction s'appelle un quasi-morphisme), ~ la relation d'équivalence sur F définie par f~g si f-g est bornée ; on note f* la classe d'équivalence de f et on pose f* + g* = (f+g)*, f* x g* =(g o f)*, et 0<f* <=> f est non majorée. L'ensemble quotient F, muni de +, x et de la relation d'ordre induite est un corps ordonné isomorphe à R (une démonstration complète ici, mais c'est assez élémentaire une fois remarqué que la fonction "partie entière de αn" appartient à F et s'identifie à α...) | |
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(1/07/08) La projection stéréographique de tout cercle de la sphère projetée est un cercle ; une jolie démonstration élémentaire résulte de ce que le centre de ce cercle est le projeté du sommet du cône tangent au premier... | |
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(17/04/08) Le gudermannien est une fonction méconnue permettant de passer de la trigonométrie à la trigonométrie hyperbolique. Robert Israël m'a communiqué une jolie démonstration élémentaire, mais sans calculs explicites, de ce que, si y(x) est l'intégrale de 1/ cos t entre 0 et x (y est la fonction arcgd : arcgd(x)=ln(arctan(x/2+π/4))), on a par exemple T=tanh y= sin x : on remarque que T'=(1-T2)(1/ cos x), on pose u= arc sin T, on a donc T'= u' cos u et on voit facilement que u'= cos u / cos x ; on conclut par unicité des solutions de cette équation différentielle... | |
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(23/12/07) Deux critères de convergence peu connus : le critère de Dirichlet (prolongeant le classique critère de convergence des séries alternées) dit que si (an) est une suite décroissante de limite nulle, et que (bn) est une suite dont les sommes partielles sont bornées, la série de terme général anbn est convergente (utiliser le lemme d'Abel, l'application la plus fréquente étant bn=sin nx). D'autre part, la règle de l'Hospital s'applique "presque" aux suites, donnant une généralisation de la moyenne de Cesaro : si (bn) est croissante et que lim (bn) =+oo, alors lim (an+1-an) / (bn+1-bn) = L => lim an / bn = L. | |
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(30/11/07) On pourrait penser intuitivement (et par analogie avec les polynômes à une variable) que tout polynôme strictement positif à deux variables réelles admet un minimum (atteint). Il n'en est rien, comme le montre le joli contre-exemple (XY-1)2+Y2. | |
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(15/10/07) Le corps des quaternions (H = R[i,j,k], avec i2 = j2 = k2 = -1 et ij = - ji = k) est , en un certain sens, algébriquement clos, c'est-à-dire que tout polynôme y admet une racine (en voici une démonstration). En particulier, tout quaternion admet deux racines carrées, sauf les réels négatifs, qui en ont une infinité... | |
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(10/9/07) Il est classique que tout réel A peut être approché par des rationnels p/q à 1/q2 près (pour q aussi grand qu'on veut), ce qui se réécrit (plus faiblement) q|qA-p| (avec p et q entiers) peut être rendu aussi petit qu'on veut. Mais la généralisation évidente : "q|qA-p||qB-r| peut être rendu aussi petit que l'on veut" (avec A et B réels quelconques) est une conjecture due à Littlewood et toujours ouverte ; on sait seulement que l'ensemble des éventuels couples pour lequels elle est fausse a une dimension de Hausdorff nulle. | |
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(15/8/07) Si Q n'a que des racines simples non réelles, et que 2 + d°P ≤ d°Q, un raisonnement simple utilisant la formule de Cauchy montre que la somme des résidus de P/Q dans le plan supérieur est un imaginaire pur. On en déduit des formules curieuses, telles que le fait que (a-c)/2 +(aj2+bj+c)/((j2+1)(j-j2)) est imaginaire (avec a, b et c réels, et en posant j= e2iπ/3)... | |
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(20/7/07) Conway a inventé un type de suites (proche de celles dites de Syracuse) simulant des machines de Turing quelconques : partant d'un terme uk=n, on cherche dans une liste de fractions fixées la première dont le produit avec n est un entier m, et l'on pose uk+1=m. >Ainsi, en partant de 6, et avec la liste [1/2,4/3], on obtient (6,3,4,2,1) et l'algorithme se termine. Conway a montrer qu'en partant de 2, et avec la liste [17/91, 78/85, 19/51, 23/38, 29/33, 77/29, 95/23, 77/19, 1/17, 11/13, 13/11, 15/2, 1/7, 55], la suite (2,15,825,725...) passe dans l'ordre par toutes tes puissances de 2 de la forme 2p, où p est un nombre premier ; j'ai écrit ce petit programme Maple qui le montre bien, mais c'est une toute autre histoire de le prouver... |
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(12/6/07)
Ce n'est guère plus qu'une coïncidence, mais l'application qui à x associe M(x)= |
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(24/5/07)
Si P(X)=Xn+a0Xn-1+...an-2X+an-1 est un polynôme unitaire de Z[X], la matrice M=
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(3/5/07) Dans un anneau quelconque, si -1 est une puissance quatrième, 2 est un carré (utiliser par exemple 0=x4+1+2x2-2x2...) |
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(2/5/07) Si P(t) et Q(t) sont deux polynômes de degré ≤n (non constants), il existe un polynôme F(x,y) de degré total &len (unique, à une constante près, si P ou Q est de degré n) tel que F(P(t),Q(t)) soit identiquement nul (prendre pour F le résultant des deux polynômes P(t)-x et Q(t)-y) |
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(28/1/07) Soit s(n,p) le nombre de surjections d'un ensemble de n objets vers un ensemble de p objets. Par inclusion-exclusion, on obtient s(n,p)=Σ (-1)p-k C(p,k)kn (avec 0≤k≤p, et où C(p,k)=p!/k!(p-k)!), puis Σ s(n,p) xn/n! = (ex-1)p. On remarque aisément que le nombre de partitions en p sous-ensembles d'un ensemble à n éléments est s(n,p)/p!, qu'on appelle souvent un nombre de Stirling de seconde espèce; on en déduit d'innombrables autres relations, celle que nous avons donnée permettant d'obtenir (en notant B(n) le nombre de Bell égal au nombre de toutes les partitions d'un ensemble à n éléments) le joli résultat Σ B(n) xn/n! = e(ex-1). |
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(10/1/07) Soit f une application continue de Rn dans R, avec n≥2. S'il existe a tel que f-1(a) soit compact (non vide), alors f possède un maximum absolu ou un minimum absolu (remarquer qu'il ne peut exister à l'extérieur d'une boule contenant f-1(a) deux points d'images encadrant a, en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur un chemin joignant ces deux points) |
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(24/12/06) Si une suite un vérifie u0=p2, u1=q2, u2=(4q-p)2 et un+3=15(un+2-un+1)+un, alors un est toujours un carré parfait; c'est par exemple le cas de la suite (un) avec un=((7+4sqrt3)n+(7-4sqrt3)n-2)/12 (la suite (0,1,16,225,...)); on peut le démontrer par récurrence, mais il est plus astucieux de remarquer, par exemple, que 7+4sqrt3 =exp(Argch7)... |
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(10/12/06) Le lemme "qui n'est pas de Burnside" dit que si G est un groupe opérant sur E, le nombre d'orbites est égal au nombre moyen de points fixes des éléments de G. J'ai rédigé une démonstration, et un exemple d'application du lemme à des problèmes de dénombrement, dans ce document. |
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(1/11/06) La suite définie par S(0)=0, S(1)=1, S(2n)=S(n)+1 et S(2n+1)=1/S(2n) (donc (0,1,2,1/2,3,1/3,3/2,2/3,4,1/4,4/3,3/4,5/2,...)) définit une bijection de N vers Q+. |
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(13/10/06) La probabilité qu'une permutation aléatoire des entiers de 1 à n contienne un cycle de longueur > n/2 tend vers ln 2=0,693... quand n devient grand; ce résultat intervient dans l'étonnant problème de mathématiciens prisonniers que je signalais aujourd'hui sur mon blog... |
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(9/9/06) Il n'est pas possible de trouver un sous-ensemble A de IN tel que si f(x)= Σ(n∈A) xn/n!, f(x) soit équivalent à ex/x2 quand x tend vers l'infini. Une jolie preuve (due à Jean-Pierre Merx) est de remarquer que l'intégrale (sur [0,+oo[) de xne-x/n! vaut 1, de calculer l'intégrale de la série tronquée à N pour f(x)e-x, puis d'en déduire (1/x^2 étant d'intégrale convergente) que A doit être fini... mais hélas, il est plus simple de voir que si k est dans A, f(k) >= kk/k! ~ ek/(2kπ)1/2 (d'après la formule de Stirling) |
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(4/9/06) Quand on tire n points au hasard dans la boule unité, le diamètre de l'ensemble tend vers 2, à une vitesse de l'ordre de n2/3 (le résultat exact a été récemment démontré par Michael Mayer et Ilya Molchanov) |
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(17/8/06) On sait (théorème de Darboux) que toute fonction dérivée satisfait le théorème des valeurs intermédiaires ; une preuve particulièrement simple consiste à remarquer que si g'(a)>0 et si g'(b)<0, g atteint un maximum entre a et b, puis d'appliquer ce résultat à g(x)=f(x)-cx, où c est compris entre f'(a) et f'(b). Pour de nombreux résultats plus fins, on consultera ce beau document, trouvé sur la page de Dominique Hoareau (sur MégaMaths), où figurent aussi de nombreuses aides à la préparation de l'analyse à l'agrégation. |
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(28/7/06)
La formule de Landsberg-Schaar : |
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(5/7/06) Le "15 theorem" (dû à Conway) affirme que si une forme quadratique de matrice à coefficients entiers représente tous les entiers jusqu'à 15, elle les représente tous (15 est minimal, la forme w2 + 2x2 +5y2 +5z2 représentant tous les entiers sauf 15). On trouvera des précisions et des généralisations de ce résultat dans l'article correspondant de la Wikipédia |
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(26/6/06)
On peut construire des carrés latins orthogonaux (donc des carrés gréco-latins) d'ordre n à partir d'anneaux unitaires à n éléments où on connait un a tel que a et a-1 soient inversibles (ou même seulement réguliers) : le "carré" des couples (s+t,a*s+t), où s et t parcourent l'anneau, convient. Ainsi, en choisissant le corps F8, et en prenant pour a une solution de x3=x+1, on obtient un carré gréco-latin d'ordre 8 : |
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(10/6/06) Contrairement à ce qui se passe en dimension 1, il est possible d'avoir des surjections non injectives du plan sur lui-même dont la dérivée (l'application linéaire tangente) soit partout bijective (donc de jacobien nul nulle part). Je viens de découvrir le joli exemple explicite qui suit (jusque-là, mon meilleur résultat était d'utiliser le théorème de Picard sur une primitive de exp(z2)): on part d'une fonction dérivable (à une variable) f nulle sur les réels négatifs, décroissante sur [0,π], croissante sur[π, 2π] et constante négative au-delà (par exemple on prend f(x)=cos x-1 sur [0,π], puis (cos x-3)/2 sur [π,2π]), et on pose F(x,y)= (f(y)+ excos y, exsin y). Il est facile de vérifier que le jacobien de F, e2x+exsin yf'(y), est toujours strictement positif, la surjectivité vient de ce que F envoie le demi-plan inférieur sur le plan privé de l'origine, et de ce que F(ln(-f(2π)),2π)=(0,0). |
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(13/5/06) La lemniscate de Bernouilli apparait sous de nombreuses formes (inverse d'hyperbole, ovale de Cassini, etc.); il est moins connu (mais la référence précédente le signale) qu'elle est également l'intersection d'un tore (de mêmes rayons intérieurs et transverses) et d'un plan tangent au tore parallèle à l'axe (le calcul n'est pas difficile, surtout en s'aidant de Maple, mais je me demande bien comment le prouver géométriquement). Au passage, une jolie preuve (applicable en particulier dans ce cas) de ce que les tangentes aux courbes d'intersection sont orthogonales si les rayons de courbures principaux sont égaux (et opposés) : raisonner par symétrie et rotation de π/2 autour de la normale. |
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(4/3/06) De jolis résultats sur les fonctions de la forme fof, où f est entière (analytique sur C) dans ce document; ainsi, fof possède un point fixe si f n'est pas une translation (ce résultat est dû à Fatou ; utiliser le petit théorème de Picard pour la fonction h(z)=(f(f(z))-z)/(f(z)-z), et dériver l'équation fonctionnelle obtenue). |
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(1/3/06) Si f est à dérivées toutes positives sur [a,b], f(x) est, pour tout a < x < b, la somme de sa série de Taylor en a (f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)2f''(a)/2!+...) ; la preuve n'est pas très difficile, mais assez technique, en comparant les termes en x et en y > x. Voir par exemple ce texte extrait du site de Jean-Pierre Barani. |
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(24/12/05) Si la suite d'intégrales In=int(1..b)tnf(t) dt est bornée (où f est continue et 1 < b), alors f est nulle sur [1,b]. La démonstration donnée sur fr.sci.maths est étrangement difficile, introduisant la transformée de Laplace F(x)=int(1..b)ex(t-1)f(t) dt, montrant qu'elle est bornée sur R puis (c'est la partie délicate) sur C, et concluant par transformée inverse... |
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(17/12/05)
L'un des contributeurs de fr.sci.math ("Billette") s'est spécialisé dans la fabrication de problèmes dont on peut trouver la solution correcte par une méthode plus ou moins illégale (par exemple ce calcul par simplification par 6 de 16/64 = 1 |
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(18/11/05) Le produit infini (5/3)x(10/8)x(26/24)x...x(p2+1)/(p2-1)x... (avec p premier) vaut 5/2 (ce résultat est dû à Ramanujan ; on l'obtient par des manipulations faciles utilisant l'identité d'Euler Π(1-1/pk)=1/ζ(k), mais c'est tout de même assez surprenant ; en voici d'autres (souvent nettement plus profonds) sur le site de Mathworld...) |
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(13/9/05) Deux beaux résultats extraits (presque au hasard) de Problem-Solving Strategies : l'inégalité de Carlson (a1+a2+...+ an)2 < (π2/6)(a12+4a22+...+n2an2), et le fait étrange que parmi 13 réels, deux au moins vérifient l'inégalité |x-y|≤(2-sqrt(3))|1+xy|. Note du 13/10 : une bête faute de frappe sur cette dernière inégalité a été corrigée, mais le fait que personne ne me l'ait signalée durant un mois m'amène à soupçonner que cette section de mon site n'est guère lue... |
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(1/9/05) Notant Fn le n-ème nombre de Fibonacci, on a Fp2-(-1)p+qFq2=Fp-qFp+q, ce qui se démontre facilement par identification en remarquant (ce qui suffit pour toute suite donnée par une formule du même genre, donc telle que u0=0 et un+2=kun+1+un) que Fn=a(xn-yn), avec xy=-1. En particulier, on a donc Fn2+Fn+12=F2n+1, résultat paradoxalement plus difficile à démontrer sous cette forme (mais pas si dur en passant par les matrices...) |
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(24/6/05) En général, il existe 8 sphères tangentes aux quatre plans formant les faces d'un tétraèdre (sphères inscrites et exinscrites). 5 existent dans tous les cas, mais les trois dernières (inscrites dans les "combles") ont parfois leur centres rejetés à l'infini, par exemple dans le cas du tétraèdre régulier (où, sinon, un argument de symétrie conduirait à 11 sphères) |
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(16/6/05) Si S est une surface telle que son intersection par tout plan de l'espace soit un cercle (ou un point, ou vide), S est une sphère (partir d'un cercle C de S, puis étudier l'intersection avec tous les plans passant par l'axe de C) |
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(29/5/05) Calcul de l'intégrale int(sin(x)exp(-tx)/x dx, x=0..+oo) (d'où on retrouve la valeur classique de lim (x->+oo) Si(x)=π/2) : intégrer (sin(x)exp(-tx)dx), puis intégrer à nouveau par rapport à t... |
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(25/5/05) Toute matrice de projection orthogonale est symétrique (utiliser une base orthonormée de diagonalisation, ou remarquer que p=(i+s)/2, et que si s est orthogonale, sa matrice est symétrique, puisque égale à l'inverse de sa transposée) |
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(7/4/05) Le partage de a>0 en x1, x2, ..., xm>0 tels que x1+ x2+ ... + xm = a et que le produit x1x2...xm soit maximal a lieu quand les xi sont tous égaux (utiliser par exemple les inégalités de convexité) et quand m est tel que mm /(m-1)m-1 < a < (m+1)m+1 /mm. |
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(5/4/05) Démonstration de von Staudt de la formule d'Euler pour les polyèdres (S+F=A+2) : prendre un arbre des arètes reliant tous les sommets, remplacer chaque arête manquante par celle lui correspondant dans le graphe dual. On obtient ainsi un arbre (parce que le polyèdre est simplement connexe) dont les nœuds sont les faces; comme, pour un arbre, on a A=S-1, la formule s'en déduit immédiatement. |
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(5/4/05) Si Fn est le n-ème nombre de Fibonacci (la suite (1,1,2,3,5,8,13,21,...)), et C(n,p) le coefficient du binôme n!/p!(n-p)!, on a (formule due à Lucas) Fn+1 = C(0,n)+C(1,n-1)+C(2,n-2)+...+C(E(n/2),n-E(n/2)). Par exemple, F8 = C(0,7)+C(1,6)+C(2,5)+C(3,4) = 1+6+10+4=21. |
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(14/2/05) L'aire d'un polygone (non croisé) dont tous les sommets sont sur un réseau dont la maille est l'unité d'aire est donné par la formule de Pick : A = n+p/2-1, où p est le nombre de points du réseau sur les côtés du polygone, et n est le nombre de points intérieurs. |
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(11/2/05) Si P est un polynôme, les racines (complexes) du polynôme dérivé P' sont situées à l'intérieur de l'enveloppe convexe des racines de P (indication : utiliser la dérivée logarithmique P'/P; et remarquer qu'on peut écrire somme (1/(z-ai)) comme une équation de barycentre (des ai) à coefficients positifs) |
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(14/1/05) Un joli résultat trouvé chez Coxeter : partant d'un polyèdre convexe, peut-on toujours, par une suite de troncations des sommets, aboutir à un polyèdre tel que pour chaque face, le nombre de côtés est un multiple de 3? Cet énoncé est équivalent au théorème des quatre couleurs (et donc démontré depuis 1977). |
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(10/1/05) Prolongeant l'entrée précédente, on trouvera ici (mais en anglais) une jolie démonstration élémentaire de ce que l'enveloppe des droites de Simpson d'un triangle quelcoques est une hypocycloïde à 3 points de rebroussement. |
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(2/1/05) L'hypocycloïde à 3 points de rebroussement est une courbe algébrique de degré 4 (bitangente à la droite de l'infini aux points cycliques). En conséquence (et d'après les formules de Plücker), sa transformée par polaires réciproques est de degré 3 (et possède un point double et 3 points d'inflexions alignés). Le plus facile, pour démontrer cela, est de demander à Maple de calculer le résultant des deux polynômes (de Tchebychev) donnant les équations paramétriques de l'hypocycloïde. |
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(20/12/04) Notant cn le coefficient du binôme C(2n,n)=(2n)!/(n!)2, on démontre facilement que l'encadrement I(n) : a.4n/ sqrt(n) < cn < b.4n est héréditaire, c'est-à-dire que I(n) implique I(n+1). |
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(29/11/04) On peut définir assez simplement sur l'intervalle [a,b] une intégrale analogue à l'intégrale de Riemann, mais prolongeant à la fois l'intégrale de Lebesgue et les intégrales impropres, l'intégrale de jauge (ou intégrale de Kurzweil). Essentiellement, il s'agit de remplacer les partitions et les sommes de Riemann associées par des partitions cochées, et d'imposer une condition de "finesse" par rapport à des fonctions positives. Voici une excellente présentation de la chose (en anglais); j'en mettrai bientôt une adaptation en français quelque part sur ce site... [Apostille de décembre 2006 : finalement, j'ai tellement procrastiné qu'une présentation (meilleure, pour l'essentiel, que ce que j'aurais pu faire, soit dit en passant, sauf peut-être qu'elle ne mentionne pas la notion, typiquement non-standard, de microjauge) figure à présent sur le site de Jean-Pierre Demailly (dans un document PDF d'une centaine de pages)] |
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(4/11/04) Si on fixe un réel r, et pour tout p, un nombre p-adique sp, on peut construire une suite de rationnels qui converge simultanément dans R vers r et dans Qp vers sp pour tout p (utiliser le théorème des restes chinois pour ajuster une suite des rationnels convergeant vers r en lui ajoutant des nombres de la forme N/D, avec N divisible par de grandes puissances de 2, 3 , 5,..., P) |
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(4/11/04) Deux sous-espaces vectoriels quelconques de même dimension d'un espace euclidien E (de dimension finie) peuvent être envoyés l'un sur l'autre par une symétrie orthogonale de E ; la preuve élémentaire consiste à se ramener au cas où leur intersection est nulle, puis à déterminer pour chaque vecteur v d'une base du premier un vecteur unitaire v' du second tel que ||v-v'|| soit maximale, et à utiliser v+v' comme base de l'espace de symétrie ... |
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(20/8/04) Paradoxe de Curry : si P est une proposition quelconque, et que X = {x | (x élément de x) => P}, on a par définition X ε X <=> (X ε X => P), donc (X ε X ) => P est vrai (car si A=>(A=>B), alors A=>B), donc (X ε X) est vrai, donc P est vraie... (et allez voir aussi le paradoxe du syllogisme en AEE) |
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(16/7/04) Si f est Coo à support compact, et s'il existe un ensemble infini d'entiers S tel que pour tout n dans S, et pour tout x, |f(n)(x)|<n!, alors f est identiquement nulle. (Passez ici pour voir une démonstration). |
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(27/6/04) L'ensemble des sin(p), où p décrit l'ensemble des nombres premiers, est dense dans [-1,1]. C'est extrêmement technique à démontrer (en supposant admis, bien sûr, non seulement le théorème des nombres premiers, mais les résultats plus précis de Dirichlet sur la densité des nombres premiers dans les progressions arithmétiques). Une esquisse de la démonstration a été donnée sur fr.sci.maths. |
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(12/6/04) Si f(x)= 1+x+x4+x9+...+xn2+..., lim(f(x)) quand x tend vers -1 = 1/2. C'est le type même du résultat taubérien, comparant convergence au sens d'Abel et au sens de Cesaro. |
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(11/6/04) La fonction f : x ->sin(x) est la seule application indéfiniment dérivable dont toutes les dérivées (et elle-même) sont comprises entre -1 et 1, et telle que f '(0)=1. |
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(31/5/04) La partie fractionnaire de sqrt(n2)+ sqrt(n2+1)+ sqrt(n2+2)+...+sqrt((n+1)2) tend vers 1/6 quand n tend vers +oo. Ce résultat bizarre se démontre aisément à l'aide de la formule sommatoire d'Euler-MacLaurin, par exemple... |
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(14/5/04) Une coïncidence étrange : eπ - π = 19,999099979... |
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(13/5/04) Si des fourmis se promènent dans le sens trigo sur les arêtes d'un polyèdre (homotope à la sphère), à raison d'une fourmi par face, de telle sorte que chaque fourmi fait au moins un tour complet, il se produit au moins une collision (voir la note de David Madore et les commentaires correspondants) |
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(22/4/04) L'arithmétique définie par une structure (0,1,+,*,^) et les axiomes du premier ordre usuels (associativité de +, a^(b*c)=(a^b)^c, etc., mais pas ceux concernant l'ordre...) n'est pas complète: le résultat suivant est vrai dans N, mais pas dans tous les modèles de la théorie précédente : |
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(20/3/04) Un joli exo de l'oral d'Ulm:
A, B dans Mn(C);
D = AB - BA; on suppose que A et B commutent avec D.
Exprimer M(t) = exp(-t(A+B)).exp(tA).exp(tB) à l'aide de D et t |
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(22/2/04) Dans les axiomes définissant un anneau unitaire, la commutativité de l'addition n'est pas nécessaire : on a (1+a)*(1+b)=(1+a)+(1+a)*b=1+a+b+a*b, et (1+a)*(1+b)=(1+b)+ a*(1+b)=1+b+a+a*b. |
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(28/1/04) L'endomorphisme de Mn(K) : A -> tA a pour déterminant 1 si n est de la forme 4p ou 4p+1, et -1 sinon (utiliser la dimension des sous-espaces propres) |
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(1/12/03) Si x est algébrique (différent de 1), (ln x)/π est irrationnel, car si (ln x)/π=p/q, on aura xq/p=eπ, donc eπ algébrique, contrairement au résultat de Gelfond-Schneider. |
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(29/11/03) Une jolie preuve topologique du théorème de Darboux selon lequel une fonction dérivée satisfait au théorème des valeurs intermédiaires: Si on pose g: (x,y) -> f(y)-f(x)/y-x, allant de l'ensemble A des (x,y) de [a,b] tels que x < y vers R, g est continue, or A est un connexe, donc son image g(A)= I est connexe, donc un intervalle. Or l'ensemble des f '(x), pour x appartenant à [a,b], contient I à cause du théorème des accroissements finis, et est contenu dans l'adhérence de I, par définition de la dérivée. Donc c'est un connexe, d'où le résultat. |
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(15/9/03) Montrer qu'il n'y a pas de nombre premier p tel que pm=(12a+5)(12b+5) (raisonner modulo 3 et 4, et compter le nombre de facteurs de pm de la forme 3k+1, 3k+2, 4k'+1 et 4k'+3) |
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(14/9/03) Si frac(x)=frac(2x), x est entier. C'est à peu près évident, mais la preuve en une ligne: |
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(26/6/03) Rappelé par un article sur fr.sci.maths, ce joli résultat presque incroyable : si on note pn/qn la nème réduite du développement en fraction continue d'un réel x, alors, pour presque tous les x, la suite (qn)1/n a pour limite la constante de Lévy-Khinchin eπ2/(12 ln 2) = 3.2758229... . | |
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(6/6/03) La détermination du développement limité de choses comme tan(sin x)-sin(tan x) faisait jadis (avant les calculettes) le cauchemar des taupins ; Cayley en a donné une élégante méthode de calcul (reproduite ici par Dave Renfro). |
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(2/6/03) Si A et B sont deux matrices carrées à coefficients dans C telles que B=AB-BA, alors B est nilpotente : montrer d'abord que Tr(B p)= Tr(B p-1BA)-Tr(B p-1AB)=0, et en déduire que les sommes des puissances des valeurs propres sont nulles, puis utiliser les fonctions symétriques des racines (du polynôme caractéristique de B) |
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(18/5/03) Une démonstration par descente infinie de l'irrationalité de sqrt(n) : notons a la partie entière de sqrt(n), et soit k un entier tel que k sqrt(n) soit entier ; on vérifie aisément que k'=k(sqrt(n)-a) est un autre entier positif plus petit ayant la même propriété... |
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(11/5/03) Si k est algébrique, k est valeur propre de la matrice (à coefficients entiers) M(k) construite en prenant comme première ligne les coefficients du polynôme dont k est racine, et des lignes de la forme (1,0,0,...), (0,1,0,...) ensuite. Notant * le produit tensoriel, on vérifie "aisément" que (k+k') est valeur propre de M(k)*Im+In*M(k') (où m<=n sont les degrés respectifs de k et k'), ce qui prouve que (k+k') est algébrique (et plus précisément, que si k et k' sont des entiers algébriques, (k+k') aussi). |
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(5/5/03) Notant C.C' l'intersection de deux courbes algébriques C et C' , en tenant compte des multiplicités, on a le résultat suivant : si C est irréductible, et si C.C' <= C.C", il existe une courbe algébrique D telle que C.D = C.C"-C.C'. On en déduit facilement le théorème des 9 points, mais aussi, par exemple, celui de Pascal sur les hexagones inscrits dans une conique, ou le résultat qui affirme qu'une quartique passant par les 9 points d'intersections de deux cubiques coupe l'une de ces cubiques en trois autres points alignés... |
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(8/4/03) Pour tout n de Z, il existe un polynôme unique P tel que P(-2)=P(-5)=n, et que les coefficients de P soient dans l'ensemble {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (Passez ici pour voir une esquisse de démonstration). |
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(31/3/03) Si 2x, 3x et 5x sont entiers, alors x est entier. C'est un résultat difficile à démontrer (voir, par exemple, un article de Lang sur les valeurs des fonctions méromorphes), et la conjecture correspondante pour 2x et 3x est ouverte |
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(1/3/03) Si on pose f(x1,x2,...,xn)=xnxn-1...x1, le quotient des dérivéees partielles (df/dxi)/(df/dxj) ne dépend que des xk pour k <= max(i,j) (par récurrence). On en déduit, par exemple, que limite (x->0) [10^10^...10^(34+x)-10^10^...10^34]/[10^10^...(10+x)^34-10^10^...10^34]=ln(10)/3.4 |
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(9/3/03) Il est assez classique que tout ordre total dénombrable est isomorphe à un sous-ordre de Q. Si on admet l'hypothèse du continu, il existe de même un ordre "universel" sur ω1 (le plus petit ordinal non-dénombrable): on prend l'ensemble S des suites s de 0 et de 1 indexées par ω1 telles qu'il existe α (dénombrable) avec sα=1 et sβ=0 pour tout β supérieur à α, ordonnées par ordre lexicographique, et on remarque que pour cet ordre, si tout élément de A est inférieur à tout élément de B, où A et B sont deux sous-ensembles dénombrables de S, il existe s ni dans A, ni dans B, telle que s majore A et minore B. Cette construction se généralise à tout cardinal, si on admet GCH. |
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(23/3/03) Soit f une application de N dans N telle que pour tout x et y, xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x2+y2). Montrer que f est constante (Passez ici pour voir une solution particulièrement élégante) |
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(24/3/03) Le coefficient du terme en x2 de det(I-xf) est 1/2(Tr(f 2)-(Tr(f))2). En voici une démonstration vraiment jolie : il suffit de remarquer que l'on a det(I-x2f 2)=det(I-xf).det(I+xf), dont les coefficients en x sont classiquement les traces, et d'identifier... |
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(3/2/03) Tout espace métrique dénombrable sans points isolés est isomorphe à Q (ainsi, Q est isomorphe à Q2). Ce résultat remarquablement contre-intuitif (comment ]0,1[ U ]2,3[ pourrait-il bien être isomorphe à Q, par exemple?) devient évident (au moins dans des cas de ce genre) dès qu'on cesse de confondre continuité et continuité uniforme (et bien sûr, le fait que les complétions ne soient pas isomorphes montre bien que la structure métrique est plus riche que la structure topologique...). Ce résultat est à rapprocher de ce que tout ensemble métrisable parfait (aucun point d'accumulation n'est isolé), compact et totalement discontinu (par exemple un ensemble de Julia non connexe) est isomorphe à l'ensemble triadique de Cantor... |
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(4/2/03) Il existe un ordre total sur C tel que, pour tout z0, l'ensemble des z tels que z0<z soit ouvert. Passez ici pour en voir une construction |
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(6/2/03) Toute application continue de la longue ligne dans elle-même possède un point fixe. Passez ici pour voir la démonstration |
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(13/2/03) Une amusante erreur d'élève : l'identité remarquable sin(x+y).sin(x-y)=sin2x-sin2y... sauf que ce n'est pas une erreur! (un peu comme le célèbre 16/64=1/4 obtenu en simplifiant par 6...) |
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(13/2/03) La loi des tangentes : dans un triangle ABC, de côtés respectifs a, b, c, on a la relation suivante entre les côtés et les angles : (a-b) / (a+b) = tan((A-B)/2) / tan((A+B)/2). |
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(24/01/03) On montre facilement par récurrence l'identité 1-1/2+1/3-(1/4)+...+1/(2n-1)-1/(2n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n), d'où une démonstration plus facile de ce que la limite commune est ln 2. |
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(26/1/03) La série 1/1 + 2/(2+3) + 3/(4+5+6) + 4/(7+8+9+10) + ... converge vers -1+π/tanh π. Cette formule bizarre (sans la valeur du résultat) était un des problèmes proposés par IBM (en juillet 2001); et, le mois suivant, ils en publiaient la démonstration. |
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(6/11/02) L’équation fonctionnelle f(x2-2)=(f(x))2-2 admet pour chaque entier k>0 une unique solution polynomiale de degré k. (x, x2-2, x3-3x, x4-4x2+2,…). Remarquer d’abord que f commute avec f2 définie par f2(x) = x2-2, puis que la suite fn vérifie fnofm=fn+m, ce qui est caractéristique des polynômes de Tchebysheff… |
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(7/11/02) Une idée astucieuse pour le calcul de la somme des carrés des coefficients du binôme (obtenue d’habitude comme coefficient de xn dans le développement de (1+x)n(1+x)n : on obtient donc : somme C(k,n)2=C(n,2n)) : prendre (1+eix)n = somme C(k,n)eikx, puis utiliser (Fourier) l’intégrale de (1+eix)2n sur [0,2π] pour que l’orthogonalité des eikx ne laisse que la somme cherchée. |
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(19/11/02) Les matrices AB et BA ont le même polynôme caractéristique : on pose A(k) = la matrice des mineurs k x k de A (de dimension Cnk ), on remarque que AB(k) =A(k) B(k) , et que le k-ème coefficient du polynôme caractéristique de A est (-1)k trace(A(k)) ; la conclusion résulte du classique trace(AB)=trace(BA). On peut même faire mieux : si A et B ne sont pas carrées, les deux polynômes restent égaux, à un facteur Xp près. | |
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(Complément écrit le 10/12/02) En fait, on peut le démontrer presque trivialement en le prouvant d'abord pour A inversible (parce que det(AB- xI) =det(A-1(AB- xI)A)), puis pour toute matrice A (carrée) par continuité ; le cas général en résulte en bordant A et B par des matrices nulles |
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(24/11/02) La suite telle que a0 = 0, a1 = 1, et pour n > 0, a2n = an et a2n+1 = an + an+1, possède la propriété suivante : an /an+1 prend toutes les valeurs positives de Q une fois et une seule. Dans l'encyclopédie des suites entières de Sloane, c’est la suite de numéro A002487 : (0,1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2,5,3,4,1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,…) |
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(4/6/02) Les nombres de Liouville sont ceux qui sont (trop) bien approximés par les rationnels (les x tels que pour tout n, il existe p/q dans Q tel que |x-p/q|<1/qn). Contrairement à l’intuition, cette propriété n’est pas stable pour l’addition, et on a même le résultat suivant, dû à Erdös : Tout réel est somme de deux nombres de Liouville ! |
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(2/8/02) Si f
est continue de R dans R, telle que f n =Id
, alors f 2=Id (facile, en utilisant la monotonie de f,
mais c’est un peu inattendu… et en plus, c’est de moi |
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(25/8/02) Si
P est un polynôme à coefficient dans Z, Cevotarev
a montré que, G étant le groupe de Galois de P, P est Pour montrer seulement qu’il existe un nombre infini de p tels que P admette une racine modulo p, on raisonne par l’absurde, on considère la série somme P(n)-1/d (où d est le degré de P) , qui diverge (terme en c/n). Utilisant P(n)=p_1^r_1…p_k^r_k et minorant, on obtient une contradiction. |
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(14/9/02) Pour toutes les matrices A,B de Mn(C) et tous les x, y, z complexes, on a det (xA+yB+zAB)=det(xA+yB+zBA). Pas si dur, mais joli ; passez ici pour voir la solution. |
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(17/9/02) Un autre très joli exercice sur fr.sci.maths : Soit deux matrices A et B de Mn(R), telles que A2+B2=AB, et que BA-AB soit inversible. Montrer que n est un multiple de 3 ( passez ici pour voir la solution) |
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(29/9/02) Maple 8 contient (dans le fichier d’aide) des « indications » de méthode, souvent peu évidentes. Ainsi, il propose, pour rationaliser les intégrales contenant un radical du type sqrt(x2-a2), la substitution u = sqrt(x2-a2) –x. |
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Une preuve rapide d'un résultat bien connu sur les coefficients du binôme C(n, k): C(n, k) = (n/k)*C(n-1, k-1), donc n divise k*C(n,k). Si pgcd(n, k)=1, alors n divise C(n, k). D'autre part, C(k, p-1) est congru à (-1)k modulo p : passer par (p-1)*((p-2)/2)*((p-3)/3)... dans le corps Z/pZ. |
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Démonstration du théorème de Cantor-Bernstein : utiliser un graphe bipartite (article de Conway) |
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Le déterminant d’une matrice antisymétrique est un carré parfait (dans fr.sci.math ; la preuve utilise des idées assez avancées, on obtient le carré du pfaffien de la matrice) |
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Exp(ln(a)*ln(b)) est distributive sur *. Et + est distributive sur ln (exp(a)+exp(b)) (et ça se généralise: c'est une application amusante du transport de structure) |
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Daniel Shiua a récemment
démontré que si a et b sont premiers entre eux, la
progression arithmétique a, a + b, ..., a + k*b, ... contient des
séquences arbitrairement longues de nombres premiers consécutifs (non, non,
il n'y a pas d'erreur; relisez attentivement la phrase: il ne s'agit pas de
termes consécutifs de la progression!) Réf : Strings of congruent primes. J. London Math.Soc. (2) 61
(2000), no. 2, 359-373; MR 2001f:11155.) |
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Une séquence continue de lois associatives passant de + à x: f(u,a,b)=f(1-t,a,b) = a *_u b = ( at + bt + t2 - 1 )(1/t) (*_u est associative, commutative, f est continue, *_0 =+; *_1= x) |
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Les résultats de probabilité de Pour la science, septembre 2001 : un ensemble de paradoxes spectaculaires sur les paris groupés. |
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Lim(x->1-) (1-x)*(1+x+x^4+x^9+x^16+…)^2)=π/4 (passer par des arguments géométriques (compte de points entiers dans un disque) ou : sum x^(n^2) \simeq integral x^(n^2) dn = 1/2 sqrt(π/ln(1/x)) D’où une nouvelle preuve de ζ(2)=π2/6 (voir aussi le site de Robin Chapman) |
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Dans un groupe quelconque (G, .), soit a un élément arbitraire; posant x*y = x(a-1)y, on obtient un nouveau groupe (dont a est l'élément unité) et f : x-> x.a est un isomorphisme de (G,*) vers (G, .))
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Toute famille de courbes isomorphes à un 8 , disjointes 2 à 2, est dénombrable (prendre pour chaque 8 un couple de points à coordonnées rationnelles, un dans chaque boucle) |
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L'intégrale de ln |ln x| sur [0,1] est -γ, où γ
est la constante d'Euler (0,577215..). |
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Sur un ensemble G, on définit une multiplication * et une opération unaire x ->x’ telles que pour tout (x,y,z,w) de G^4, (w((x'w)'z))((yz)'y) = x. Alors G est un groupe. [McCune1993] montre par recherche exhaustive sur ordinateur que ceci est la plus courte identité formée de ces deux opérations qui puisse définir un groupe. |
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Un exemple explicite d'un sous-groupe (additif) non dénombrable de R: Soit S l'ensemble des
nombres réels x tels que lim [n->∞] cos(π*2(2^n)*x) = 1. |
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Une famille non dénombrable de sous-ensembles de N totalement ordonnée par inclusion: utiliser une bijection entre N et Q, puis prendre la famille ]-oo, r[ \inter Q pour tout r réel… |
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Bailey et Crandall ont montré que pour toute base b > 1 et tout p premier impair, α[b, p] == Sum[1/(p^n b^(p^n)), {n >0}] est b-normal et aussi transcendant ( la démonstration, en format .pdf) |
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Dans le même ordre d'idées, on sait démontrer que « (exp(π2) est transcendant )ou (e et π sont algébriquement indépendants) » (et pourtant, on ne sait même pas si e + π est irrationnel…) (mais j'ai perdu la référence...) En revanche, plein de résultats passionnants (et avec des démonstrations) ici, dont le théorème des six exponentielles (qui affirme que si x1, x2 et x3 d'une part, et y1, y2 d'autre part, sont linéairement indépendants sur Q, l'un au moins des six nombres exp(x iyj ) est transcendant). Mais le véritable but de ce site est de démontrer le résultat suivant: « En 1990, Hofberger a proposé le problème de déterminer le groupe des automorphismes du groupe multiplicatif ordonné des rationnels positifs. Ce n'est que très récemment (en 1994), que A. M. W. Glass et Paulo Ribenboim ont réussi à démontrer qu'il s'agissait du groupe trivial (ne comportant que l'identité) » |
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Une présentation performante des récurrences linaires à deux termes (ça marche aussi pour les équations différentielles): posant (r,s) solution de (r+s=a, rs=-b), on a U_n+2=aU_n+1+bU_n=> U_n+2-rU_n+1=s(U_n+1-rU_n), donc U_n+1-sU_n=r^n(U_1-sU_0) et r et s jouent le même rôle, d’où U_n... |
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Posant u_n =n^(-1/3), la série sum(a_n)= u_1+u_1j+u_1j^2+u_2+u_2j+u_2j^2+… converge (vers 0) ainsi que la série sum (a_n^2), mais sum(a_n^3) diverge... |
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Encore un calcul de somme de 1/n^2 et somme de 1/n^4 (je n'ai pas vérifié, mais ça sonne juste...)
On montre facilement que P est un polynôme, et que ses racines sont précisément les x_k = cotan^2 ( k*pi/(2p+1) ); à partir de là, les relations coefficients-racines fournissent la somme des x_k. On peut en déduire la somme des 1/ sin^2(k*pi/(2p+1)), puis en utilisant l'inégalité sin u < u < tan u, en déduire la somme des 1/n^2 de n=1 à l'infini, et même la somme des 1/n^4 de n=1 à l'infini. |
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Relations entre les nombres de Fibonacci : passer par les matrices. En effet, si T = [[F2,F1][F1,F0]] = [[1,1][1,0]] alors on voit facilement que T^n = [[F_n+1,F_n] [F_n,F_n-1]]. Donc, en passant au déterminant, on trouve la relation classique F_n-1*F_n+1-F_n^2=(-1)^n. Et en écrivant T^n*T^m = T^(m+n) on obtient plein de choses du même genre... |
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Soient A et B 2 matrices n*n (n>=2) à éléments dans C nilpotentes ; soit P un polynôme à coefficients dans C de valuation 1 (terme constant nul, coefficient de X non nul). Si P(A)=P(B) a-t-on A=B ? Contrairement à toute attente, la réponse est oui, et de plus, cela ne fait pas intervenir le corps de base. Et mieux encore, il suffit que a et b soit deux éléments nilpotents d’une K –algèbre Démonstration:
Lemme
: On construit Qn par récurrence. Q_2(Y) = Y convient. Supposons construit Q_n, alors il existe a tel que Q_n(P(X)) = X + aX^n (mod X^(n+1)). On pose alors Q_(n+1)(Y) = Q_n(Y) - aY^n. Comme P(X)^n = X (mod X^(n+1)), on voit que Q_(n+1)(P(X)) = X (mod X^(n+1)). D'où le lemme. Alors, on voit que si P(A) = P(B), et A n = B n = 0, alors A = Qn(P(A)) = Qn(P(B)) = B. D'où le résultat. |
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Si Fn est le n ème nombre de Fibonacci, 5Fn2+4*(-1)n est un carré parfait, et on a (par récurrence) la relation F2n = Fn(5Fn2+4*(-1)n)1/2. |
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La construction classique de C comme sous-algèbre des matrices de M2(R) de la forme ((a b) (-b a)) se généralise en une construction de H (le corps des quaternions) comme sous-algèbre de M2(C) de la forme (( u v) (-v' u')) où z' est le conjugué de z |
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Les polynômes (xn-1) ont des facteurs irréductibles dans Q (les polynômes cyclotomiques) à coefficients 0, 1 ou -1 pour tous les n <105, mais un des facteurs de x105-1 a un terme en -2x 7 (et un en -2x41 ) |
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Un des innombrables joyaux de Bill Taylor: « Si 22021 était premier, 198585576189 serait un nombre parfait impair! » (il s'agit en fait d'un résultat trouvé par Descartes ; voici d'autres informations sur ces "spoof perfect numbers", mais il semble bien que l'exemple précédent soit le seul qui existe!) |
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Comment calculer la probabilité de faire s avec n dés à p faces ? C’est le coefficient de xs dans (x+x2+x3+…+xp)n, qui vaut xn(1-xp)n(1-x) -n, et on conclut en faisant le produit des séries. |
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(avec a positif et b quelconque) est un morphisme de (R,+) vers le groupe des matrices inversibles (triangulaires supérieures d'ordre 3); on en déduit (plus aisément qu'en passant par la forme de Jordan) les puissances n-èmes de matrices (triangulaires supérieures) constantes sur chaque diagonale...
vérifie P(M)=O (autrement dit, les matrices carrées à coefficients entiers forment "presque" une clôture algébrique de Q...)
est une surprenante généralisation de 
)